Jak obliczyć deltę i rozwiązać równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a jest różne od zera. Rozwiązuje się je przez deltę, nazywaną wyróżnikiem: liczbę, która z góry mówi, ile pierwiastków ma równanie. Obliczamy ją ze wzoru Δ = b² − 4ac, a potem wyznaczamy pierwiastki.
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwiążmy x² − 5x + 6 = 0, gdzie a = 1, b = −5, c = 6:
- Policz deltę: Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
- Wyznacz pierwiastek z delty: √1 = 1.
- Zastosuj wzór x = (−b ± √Δ) ÷ 2a: x₁ = (5 − 1) ÷ 2 = 2, x₂ = (5 + 1) ÷ 2 = 3.
Co mówi znak delty
| Delta | Liczba pierwiastków |
|---|---|
| Δ > 0 | dwa różne pierwiastki rzeczywiste |
| Δ = 0 | jeden pierwiastek podwójny |
| Δ < 0 | brak rozwiązań rzeczywistych |
Delta stoi pod pierwiastkiem we wzorze na rozwiązania. Gdy jest dodatnia, pierwiastek daje dwie różne wartości; przy zerze oba rozwiązania się pokrywają; przy ujemnej nie da się wyciągnąć pierwiastka w liczbach rzeczywistych.
Najczęstsze pytania
Przykład: x² − 5x + 6 = 0, jak rozwiązać?
Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, √Δ = 1, więc x₁ = (5 − 1) ÷ 2 = 2 i x₂ = (5 + 1) ÷ 2 = 3.
Co oznacza znak delty?
Delta dodatnia daje dwa różne pierwiastki rzeczywiste, delta równa zero daje jeden pierwiastek podwójny, a delta ujemna oznacza brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Jaki jest wzór na pierwiastki równania kwadratowego?
Po obliczeniu delty pierwiastki liczy się ze wzoru x = (−b ± √Δ) ÷ (2a). Znak plus daje jeden pierwiastek, a znak minus drugi.
Dlaczego współczynnik a nie może być zerem?
Gdy a = 0, człon z x² znika, a równanie przestaje być kwadratowe i staje się liniowe (bx + c = 0). Wzór na deltę wtedy nie ma zastosowania.
Czym jest wyróżnik równania kwadratowego?
Wyróżnik to inna nazwa delty. „Wyróżnia" liczbę rozwiązań równania, bo to jego znak decyduje, ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie.